Question

5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直線l與⊙O相切于點E，且l∥BC．
（1）求證：AE平分∠BAC；
（2）作∠ABC的平分線BF交AE于點F，求證：BE=EF．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OE，利用垂徑定理、圓周角、弧、弦的關(guān)系證得結(jié)論；
（2）欲證明BE=EF，只需推知∠EBF=∠EFB即可．

解答 證明：（1）連接OE．
∵直線l與⊙O相切于E，
∴OE⊥l．
∵l∥BC，
∴OE⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BAE=∠CAE．
∴AE平分∠BAC；

（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF．
又∵$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BAE=∠CBE，
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF=∠EFB，
∴BE=EF．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角、弧、弦的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，熟記與圓有關(guān)的性質(zhì)即可解答．