Question

如圖1，在第一象限內(nèi)，直線y=mx與過點(diǎn)B（0，1）且平行于x軸的直線l相交于點(diǎn)A，半徑為r的⊙Q與直線y=mx、x軸分別相切于點(diǎn)T、E，且與直線l分別交于不同的M、N兩。
（1）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，p）時(shí)，①填空：p=_____，m=______，∠AOE=_______；
②如圖2，連接QT、QE，QE交MN于點(diǎn)F，當(dāng)r=2時(shí)，試說明：以T、M、E、N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形；
（2）在圖1中，連接EQ并延長交⊙Q于點(diǎn)D，試探索：對m、r的不同取值，經(jīng)過M、D、N三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c，a的值會變化嗎？若不變，求出a的值；若變化，請說明理由。

圖1                                                                            圖2

Answer 1

解：（1）①P=1，m=，∠AOE=60°； ②連結(jié)TM、ME、EN，NQ、MQ（如圖1） ∵OE切于點(diǎn)E，l∥x軸 ∴∠OEQ=∠QFM=90°，且NF=MF 又∵QF=2-1=1=EF， ∴四邊形MENQ是平行四邊形， ∴QN∥ME 在Rt△QFN中，QF=1，QN=2， ∴∠FQN=60° 依題意，在四邊形OEQT中，∠TOE=60°，∠OTQ=∠OEQ=90°， ∴∠TQE=120° ∴∠TQE+∠NQE =180°， ∴T、Q、N在同一直線上 ∴ME∥TN，ME≠TN，且∠TMN=90°， 又∠TNM=30°， ∴MT=2， 又QE=QN=2， ∴△EQN為等邊三角形， ∴EN=2， ∴EN=MT， ∴四邊形MENT是等腰梯形； 注：也可證明∠MTN=∠ENT=60°

圖1

（2）a的值不變，理由如下： 如圖，DE與MN交于點(diǎn)F，連結(jié)MD、ME， ∵DE是⊙O的直徑， ∴∠DME=90°， 又∵∠MFD=90°， ∴∠MDE=∠EMN， ∴tan∠MDE=tan∠EMN ， ∴， 即（1） （注：本式也可由△MDF～△EMF得到） ∵在平移過程中，圖形的形狀及特征保持不變，拋物線的圖象可通過的圖象平移得到， ∴可以將問題轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)D在y軸上，點(diǎn)M、N在x軸上進(jìn)行探索（如圖2）， 由圖形的對稱性可得點(diǎn)D為拋物線頂點(diǎn)， 依題意，得，設(shè)D（0，k）（k=2r-1>0），M（x1，0），N（x2，0）（x2＜x2）， 則經(jīng)過M、D、N三點(diǎn)的拋物線為， 當(dāng)y=0時(shí)，x1、x2為的兩根，解得， ∴， 代入（1）式得， ∴， 又k>0， ∴a=-1， 故a的值不變。

圖2