Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，AE＞DE，BE=BC，點(diǎn)O是線段CE的中點(diǎn)．
（1）試說(shuō)明CE平分∠BED；
（2）若AB=3，BC=5，求BO的長(zhǎng)；
（3）延長(zhǎng)BO交直線AD于點(diǎn)F，連接CF，畫出圖形，試說(shuō)明四邊形BCFE是菱形．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
又∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC．
∴∠BEC=∠DEC，
∴CE平分∠BED；

（2）在Rt△BAE中，AB=3，BE=BC=5，
有勾股定理得：AE=4，
在Rt△CDE中，CD=3，DE=1，
有勾股定理得：EC=，
在Rt△BOC中，BC=5，CO=，
由勾股定理得：BO==，

（3）如圖所示：
∵FE∥CB，
∴∠EFO=∠COB，
∵BE=BC，BO⊥CE，
∴EO=CO，
在△FEO和△BCO中，
，
∴△FEO≌△BCO（AAS），
∴EF=BC，
∴四邊形EFCB是平行四邊形，
∵EC⊥BF，
∴四邊形EFCB是菱形．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)AD∥BC，所以∠BCE=∠DEC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可；
（2）利用勾股定理先求出AE、EC的長(zhǎng)，在△BCO中根據(jù)勾股定理即可求出BO；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，首先證明BCEF是平行四邊形，再由對(duì)角線互相垂直即可證明四邊形BCEF是菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，以及菱形和平行四邊形的判定，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．