Question

8．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于點F，交AC的平行線BG于點G．
（1）求證：BG=CF；
（2）DE⊥GF交AB于點E，連接EF，試判斷BE+CF與EF的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；
（2）再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF＞EF．

解答 （1）證明：∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D為BC的中點，
∴BD=CD
在△BGD與△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=∠DCF}\\{BD=CD}\\{∠BDG=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．

（2）解：BE+CF＞EF．
連接EG，
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分線到線段端點的距離相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．

點評 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．