Question

已知關(guān)于x的方程（m+1）x²+2mx+（m-3）=O有實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）m為何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根？并求出這兩個實數(shù)根．

Answer 1

解：（1）關(guān)于x的方程（m+1）x²+2mx+（m-3）=0有實數(shù)根，分兩種情況討論：
①m+1=0即m=-1時，是一元一次方程，此時方程即為-2x-4=0，必有實數(shù)根；
②m+1≠0時，是一元二次方程，
△=b²-4ac=（2m）²-4×（m+1）×（m-3）=8m+12≥0，
解得：m≥-且m≠-1；
綜上可知，當m≥-時，方程（m+1）x²+2mx+（m-3）=O有實數(shù)根；

（2）∵關(guān)于x的方程（m-1）x²+（2m-1）x+m-2=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（2m）²-4×（m+1）×（m-3）=8m+12=0，
解得：m=-，
∴方程變?yōu)椋?x²-3x-=0，
兩邊同時乘以-2得：x²+6x+9=0，
解得x₁=x₂=-3．
分析：（1）根據(jù)方程有實數(shù)根，分兩種情況討論：m+1=0時，方程即為-2x-4=0，必有實數(shù)根；m+1≠0時，△=b²-4ac=（2m）²-4×（m+1）×（m-3）=8m+12≥0，解不等式即可；
（2）根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，可得△=b²-4ac=（2m）²-4×（m+1）×（m-3）=8m+12=0，解方程可得m的值，再把m的值代入方程（m+1）x²+2mx+（m-3）=0，解一元二次方程即可．
點評：此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，以及一元二次方程的解法，關(guān)鍵是掌握：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．