Question

如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且DF＝BE．

 

⑴求證：CE＝CF；

⑵若G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）成立。

【解析】

試題分析：（1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF．

（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因?yàn)镈F=BE，所以可證GE=BE+GD成立．

⑴證明：在正方形ABCD中，

∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF．

∴CE＝CF．

⑵解：GE＝BE＋GD成立．

∵△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF．

∴∠ECD＋∠ECB＝∠ECD＋∠FCD

即∠ECF＝∠BCD＝90°，

又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．

∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG．

∴EG＝GF．

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．

考點(diǎn)：本題考查的是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：

證兩條線(xiàn)段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線(xiàn)段所在三角形全等的思想，在第二問(wèn)中也是考查了通過(guò)全等找出和GE相等的線(xiàn)段，從而證出關(guān)系是不是成立．