Question

5．如圖，△ABC和△DCE是兩個全等的等腰三角形，底邊BC、CE在一條直線上，F為DE的中點，連接BF，交AC于點P，交DC于點Q，則$\frac{PQ}{PB}$的值等于$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據全等三角形和等腰三角形的性質得到∠ACB=∠E=∠ABC=∠DCE，BC=CE，由平行線的判定定理得到AB∥CD，AC∥DE，推出△PBC∽△EBF，根據相似三角形的性質得到$\frac{PC}{EF}=\frac{PB}{BF}=\frac{BC}{BE}=\frac{1}{2}$，由△PCQ∽△DFQ，得到$\frac{PQ}{FQ}=\frac{PC}{DF}$=$\frac{1}{2}$，即可得到結論．

解答 解：∵△ABC和△DCE是兩個全等的等腰三角形，
∴∠ACB=∠E=∠ABC=∠DCE，BC=CE，
∴AB∥CD，AC∥DE，
∴△PBC∽△EBF，
∴$\frac{PC}{EF}=\frac{PB}{BF}=\frac{BC}{BE}=\frac{1}{2}$，
∴PB=PF，
∵F為DE的中點，
∴DF=EF，
∴$\frac{PC}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∵AC∥DE，
∴△PCQ∽△DFQ，
∴$\frac{PQ}{FQ}=\frac{PC}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴PQ=$\frac{1}{2}$FQ，
∴PQ=$\frac{1}{3}$PF，
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質；證明三角形相似是解決問題的關鍵．