Question

如圖所示，已知拋物線y=ax²+bx+c與直線y=kx+4相交于A（1，5），B（4，8）兩點(diǎn)，與x軸交于原點(diǎn)O及C點(diǎn)．
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得S_△OCD=

1

2

S_△OCB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)直線解析式為y=mx+n，把A與B坐標(biāo)代入求出m與n的值，確定出直線解析式；把A與B，原點(diǎn)O坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a，b，c的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）求出三角形OCB的面積，設(shè)D的縱坐標(biāo)為y，表示出三角形OCD面積，根據(jù)兩三角形面積關(guān)系求出y的值，確定出D坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，
把A（1，5），B（4，8）代入得：

m+n=5 4m+n=8

，
解得：m=1，n=4，
∴直線解析式為y=x+4；
把A（1，5），B（4，8）以及O（0，0）代入拋物線解析式得：

a+b+c=5 16a+4b+c=8 c=0

，
解得：a=-1，b=6，c=0，
則拋物線解析式為y=-x²+6x；
（2）過(guò)B作BM⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，設(shè)D縱坐標(biāo)為y，
令拋物線解析式y(tǒng)=0，得到x=0或x=6，即C（6，0），O（0，0），
∴S_△BOC=

1

2

OC•BM=24；
∵S_△OCD=

1

2

S_△OCB=12，
∴

1

2

OC•|DN|=12，即|DN|=4，
解得：DN=4或-4，即y=4或-4，
當(dāng)y=4時(shí)，4=-x²+6x，
解得：x=3±

5

，此時(shí)D（3+

5

，4）或（3-

5

，4）；
當(dāng)y=-4時(shí)，-4=-x²+6x，
解得：x=3±

13

，此時(shí)D（3+

13

，-4）或（3+

13

，-4）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．