Question

9．若一元二次方程x²+ax+b=0的兩根為整數(shù)，且兩根的平方和為2009，則這種方程有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 4個
• D． 8個

Answer 1

分析 設(shè)方程的兩整數(shù)根為α、β，則α²+β²=2009，根據(jù)“若兩個整數(shù)的和為奇數(shù)，則兩個整數(shù)一奇一偶”可得α、β一奇一偶，不妨設(shè)假設(shè)α=2m，β=2n+1，代入α²+β²=2009，整理得m²+n（n+1）=502，由n（n+1）是偶數(shù)可得m也是偶數(shù)，可設(shè)m=2p，則有2p²+$\frac{1}{2}$n（n+1）=251，可得$\frac{1}{2}$n（n+1）是奇數(shù)，只需分n=4q+2和n=4q+1進行討論，即可得到α、β的值，問題得以解決．

解答 解：設(shè)方程的兩整數(shù)根為α、β，則α²+β²=2009，
由2009是奇數(shù)可得α、β一奇一偶，
不妨設(shè)假設(shè)α=2m，β=2n+1（其中m，n為整數(shù)），
則有m²+n²+n=502，即m²+n（n+1）=502，
由n（n+1）是偶數(shù)可得m是偶數(shù)，
可設(shè)m=2p，代入得：2p²+$\frac{1}{2}$n（n+1）=251，
則$\frac{1}{2}$n（n+1）必是奇數(shù)，
可設(shè)n=4q+2或n=4q+1（其中q為整數(shù)），
①當α，β均為正整數(shù)時，p、q均為非負整數(shù)，
若n=4q+2，則有p²+4q²+5q=124，q取任意非負整數(shù)時，p都不是整數(shù)；
若n=4q+1時，則有p²+4q²+3q=125，僅當q=4時，p=7，
此時α=2m=4p=28，β=2n+1=2（4q+1）+1=35．
同理：②α，β均為負整數(shù)時，α=-28，β=-35；
③當α為正整數(shù)，β為負整數(shù)時，α=28，β=-35；
④當α為負整數(shù)，β為正整數(shù)時，α=-28，β=35．
故選C．

點評 本題主要了考查了奇數(shù)與偶數(shù)、帶余除法等知識，在解決問題的過程中用到了“若兩個整數(shù)的和為奇數(shù)，則兩個整數(shù)一奇一偶”，“兩個連續(xù)的整數(shù)的積為偶數(shù)”等重要的結(jié)論，另外，還用到了分類討論的數(shù)學思想．