Question

2．已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點P、Q分別在邊AC、AD上，且點P不與點A、C重合，DQ=k•AP（k＞0），聯(lián)接BQ、BP．

（1）如圖1，當(dāng)AP=1，K=2，求BQ的長；
（2）如圖2，B、P、Q三點在同一直線上，且BQ⊥AC，求k的值．
（3）如圖3，當(dāng)k=2時，若BQ交AC于點K，點P在AK上，設(shè)AP=x，△BPQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABQ中，求出AQ，利用勾股定理即可求出BQ；
（2）解直角三角形求出PA、DQ的值即可解決問題；
（3）如圖3中，作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N．則PM=$\frac{3}{5}$x，PN=$\frac{4}{5}$x．首先求出B、P、Q共線時x的值，分兩種情形分別求解即可；

解答 解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，∠BAD=90°，
∵QD=2AP，AP=1，
∴DQ=2，AQ=6，
在Rt△ABQ中，BQ=$\sqrt{A{B}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．

（2）如圖2中，

在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$•AC•BP，
∴PB=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴PA=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴PC=AC-AP=$\frac{32}{5}$，
∵AQ∥BC，
∴$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{AP}{PC}$，
∴$\frac{AQ}{8}$=$\frac{\frac{18}{5}}{\frac{32}{5}}$，
∴AQ=$\frac{9}{2}$，
∴DQ=8-$\frac{9}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴$\frac{7}{2}$=k•$\frac{18}{5}$，
∴k=$\frac{35}{36}$．

（3）如圖3中，作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N．則PM=$\frac{3}{5}$x，PN=$\frac{4}{5}$x．

∵DQ＜8，
∴2x＜8，
∴0＜x＜4．
當(dāng)B、P、Q共線時，$\frac{8-2x}{8}$=$\frac{x}{10-x}$解得x=18-2$\sqrt{61}$或18+2$\sqrt{61}$（舍棄），
∴當(dāng)0＜x＜18-2$\sqrt{61}$時，y=S_△ABQ-S_△APQ-S_△ABP=$\frac{1}{2}$•6•（8-2x）-$\frac{1}{2}$•（8-2x）•$\frac{3}{5}$x-$\frac{1}{2}$•8•$\frac{4}{5}$x=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{58}{5}$x+24．
當(dāng)18-2$\sqrt{61}$＜x＜4時，y=S_△APQ+S_△ABP-S_△ABQ=$\frac{1}{2}$•（8-2x）•$\frac{3}{5}$x+$\frac{1}{2}$•8•$\frac{4}{5}$x-$\frac{1}{2}$•6•（8-2x）=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{58}{5}$x-24．

點評 本題考查矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．