Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x正半軸上，OA=cm，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA以cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng).如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜6）s.

（1）求∠OAB的度數(shù).

（2）以O(shè)B為直徑的⊙O^‘與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與⊙O^‘相切？

（3）寫出△PQR的面積S隨動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最小值及相應(yīng)的t值.

（4）是否存在△APQ為等腰三角形，若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：（1）在Rt△AOB中：

tan∠OAB=

∴∠OAB=30°

（2）如圖，連接O^‘P，O^‘M. 當(dāng)PM與⊙O^‘相切時(shí)，有∠PM O^‘=∠PO O^‘=90°，

   △PM O^‘≌△PO O^‘

由（1）知∠OBA=60°

∵O^‘M= O^‘B

∴△O^‘BM是等邊三角形

∴∠B O^‘M=60°

可得∠O O^‘P=∠M O^‘P=60°

∴OP= O O^‘·tan∠O O^‘P

    =6×tan60°=

又∵OP=t

∴t=，t=3

即：t=3時(shí)，PM與⊙O^‘相切.

（3）如圖9，過點(diǎn)Q作QE⊥x于點(diǎn)E

   ∵∠BAO=30°，AQ=4t

   ∴QE=AQ=2t

   AE=AQ·cos∠OAB=4t×

∴OE=OA-AE=-t

   ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-t，2t）

   S_△PQR= S_△OAB -S_△OPR -S_△APQ -S_△BRQ

            =

       =

       =   （）

   當(dāng)t=3時(shí)，S_△PQR最小=

   （4）分三種情況：如圖11.

當(dāng)AP=AQ₁=4t時(shí)，

∵OP+AP=

∴t+4t=

∴t=

或化簡(jiǎn)為t=-18

當(dāng)PQ₂=AQ₂=4t時(shí)

 過Q₂點(diǎn)作Q₂D⊥x軸于點(diǎn)D，

∴PA=2AD=2A Q₂·cosA=t

即t+t =

∴t=2

當(dāng)PA=PQ₃時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H

 AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t

AQ₃=2AH=36-6t

得36-6t=4t，

∴t=3.6

綜上所述，當(dāng)t=2，t=3.6，t=-18時(shí)，△APQ是等腰三角形.