Question

2．已知關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0．
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若方程的兩根x₁，x₂恰好是一個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng)，且矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{5}$，求k．

Answer 1

分析 （1）由根的判別式△＜0得到關(guān)于k的一元一次不等式，通過(guò)解不等式求得k的取值范圍；
（2）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，依題意x₁²+x₂²=$\sqrt{5}$，又根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，這樣利用這些等式變形即可求解．

解答 解：（1）依題意△=[-（k+1）]²-4×1×（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3≥0，
∴k≥$\frac{3}{2}$；

（2）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，
依題意x₁²+x₂²=（$\sqrt{5}$）²，
∵x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（k+1）²-2（$\frac{1}{4}$k²+1）=5，
整理得：k²+4k-12=0，
∴k=-6或k=2，
當(dāng)k=-6時(shí)，x₁+x₂=k+1=-5＜0，舍去，
∴k=2．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，首先利用判別式是非負(fù)數(shù)確定k的取值范圍，然后利用各與系數(shù)的關(guān)系確定k的值．