Question

5．如圖，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O為BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑作半圓與AB邊交于點(diǎn)D，連結(jié)CD，恰好AC=DC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AC=3，BC=5，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠ADC，∠B=∠ODB，由∠A+∠B=90°，得出∠ADC+∠ODB=90°，因此∠ODC=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：連接OD，如圖所示：
∵AC=DC，OD=OB，
∴∠A=∠ADC，∠B=∠ODB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ADC+∠ODB=90°，
∴∠ODC=90°，
即CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵AC=3，BC=5，
∴CD=3，OB=OD=r，OC=5-r，
∵∠ODC=90°，
∴CD²+OD²=OC²，
即3²+r²=（5-r）²，
解得：r=1.6；
即⊙O的半徑r=1.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握切線的判定方法，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．