Question

在一次科技活動中，小明進行了模擬雷達掃描實驗．如圖，表盤是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在點A處有一束紅外光線AP，從AB開始，繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°，到達AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回AB，到達后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過程．小明通過實驗發(fā)現(xiàn)，光線從AB處旋轉(zhuǎn)開始計時，旋轉(zhuǎn)1秒，此時光線AP交BC邊于點M，BM的長為（20

3

-20）cm．
（1）求AB的長；
（2）從AB處旋轉(zhuǎn)開始計時，若旋轉(zhuǎn)6秒，此時光線AP與BC邊的交點在什么位置？若旋轉(zhuǎn)2014秒，交點又在什么位置？請說明理由．

Answer 1

考點：解直角三角形的應(yīng)用

專題：幾何圖形問題,規(guī)律型

分析：（1）如圖1，過A點作AD⊥BC，垂足為D．令A(yù)B=2tcm．在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)可得AD=

1

2

AB=t，BD=

3

2

AB=

3

t．在Rt∠AMD中，MD=AD=t．由BM=BD-MD，得到關(guān)于t的方程，求得t的值，從而求得AB的長；
（2）如圖2，當(dāng)光線旋轉(zhuǎn)6秒，設(shè)AP交BC于點N，在Rt△ABN中，根據(jù)三角函數(shù)可得BN；如圖3，設(shè)光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后光線與BC的交點為Q．求得CQ=

80 3

3

，BC=40

3

．根據(jù)BQ=BC-CQ即可求解．

解答：解：（1）如圖1，過A點作AD⊥BC，垂足為D．
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°．
令A(yù)B=2tcm．
在Rt△ABD中，AD=

1

2

AB=t，BD=

3

2

AB=

3

t．
在Rt△AMD中，∵∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，
∴MD=AD=t．
∵BM=BD-MD．即

3

t-t=20

3

-20．
解得t=20．
∴AB=2×20=40cm．
答：AB的長為40cm．

（2）如圖2，當(dāng)光線旋轉(zhuǎn)6秒，
設(shè)AP交BC于點N，此時∠BAN=15°×6=90°．
在Rt△ABN中，BN=

AB

cos30°

=

40

3 2

=

80 3

3

．
∴光線AP旋轉(zhuǎn)6秒，與BC的交點N距點B

80 3

3

cm處．
如圖3，設(shè)光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后光線與BC的交點為Q．
由題意可知，光線從邊AB開始到第一次回到AB處需8×2=16秒，
而2014=125×16+14，即AP旋轉(zhuǎn)2014秒與旋轉(zhuǎn)14秒時和BC的交點是同一個點Q．
旋轉(zhuǎn)14s的過程是B→C：8s，C→Q：6s，因此CQ=BN=

80 3

3

，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴BC=2ABcos30°=2×40×

3

2

=40

3

，
∴BQ=BC-CQ=40

3

-

80 3

3

=

40 3

3

，
∴光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后，與BC的交點Q在距點B

40 3

3

cm處．

點評：考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，注意方程思想的應(yīng)用．