Question

14．如圖，點(diǎn)A（0，2），B（4，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊（點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)D不與A，B重合），如圖，使點(diǎn)E落在x軸上．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0），△CDE與△ABO重疊部分的面積為S．
（1）試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，S的面積最大？最大值是多少？
（3）是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△ADE為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）OB=4，C點(diǎn)的位置應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)C在OB的中點(diǎn)或在中點(diǎn)與B之間時(shí)，重合部分是△CDE；當(dāng)C在OB的中點(diǎn)與O之間時(shí)，重合部分是梯形，就可以得到函數(shù)解析式．
（2）求出S與x之間的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)就可以得到面積的最值．
（3）分△ADE以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)和△ADE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，兩種情況進(jìn)行討論．根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，求出OE的長(zhǎng)，就可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）①點(diǎn)E在原點(diǎn)和x軸正半軸上時(shí)，重疊部分是△CDE．
則S_△CDE=$\frac{1}{2}$BC×CD=$\frac{1}{2}$（4-x）（-$\frac{1}{2}$x+2）
=$\frac{1}{4}$x²-2x+4；
當(dāng)E與O重合時(shí)，CE=$\frac{1}{2}$BO=2，則2≤x＜4；
②當(dāng)E在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)F，則重疊部分為梯形．
∵△OFE∽△OAB
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$OE．
又∵OE=4-2x，
∴OF=$\frac{1}{2}$（4-2x）=2-x，
∴S四邊形CDFO=$\frac{x}{2}$×[2-x+（-$\frac{1}{2}$x+2）]，
=-$\frac{3}{4}$x²+2x．
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）
∴0＜x＜2．
綜合①②得S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{x}^{2}-2x+4（2≤x＜4）}\\{-\frac{3}{4}{x}^{2}+2x（0＜x＜2）}\end{array}\right.$；

（2）①當(dāng)2≤x＜4時(shí)，S=$\frac{1}{4}$x²-2x+4=$\frac{1}{4}$（x-4）²，
∴對(duì)稱軸是直線x=4
∵拋物線開口向上，
∴在2≤x＜4中，S隨x的增大而減小
∴當(dāng)x=2時(shí)，S_最大值=$\frac{1}{4}$×（2-4）²=1；
②當(dāng)0＜x＜2時(shí)，S=-$\frac{3}{4}$x²+2x=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{4}{3}$，
∴對(duì)稱軸是直線x=$\frac{4}{3}$，
∵拋物線開口向下，
∴當(dāng)x=$\frac{4}{3}$時(shí)，S有最大值為$\frac{4}{3}$．
綜合①②當(dāng)x=$\frac{4}{3}$時(shí)，S有最大值為$\frac{4}{3}$；

（3）存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）和（$\frac{5}{2}$，0）．
附：詳解：①當(dāng)△ADE以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，作AE⊥AB交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E，
∵△AOE∽△BOA
∴$\frac{EO}{AO}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$．
∵AO=2，
∴EO=1，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-1，0），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）；
②當(dāng)△ADE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，
同樣有△AOE∽△BOA，則$\frac{OE}{AO}$=$\frac{OA}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∴EO=1，
∴E（1，0），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（$\frac{5}{2}$，0），
綜合①②知滿足條件的坐標(biāo)有（$\frac{3}{2}$，0）和（$\frac{5}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查了相似綜合題．其中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)最值的求法、相似三角形的判定與性質(zhì)以及多邊形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．此題難度較大，注意掌握函數(shù)思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．