Question

如圖等邊△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于E點，交BC于P，PF⊥AC于F，下列結論正確的是：________．
①P是BC中點；②；③PF是⊙O的切線；④AE=EC．

Answer 1

①②③④
分析：連接AP．根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的“三線合一”的性質推知點P是線段BC的中點，同理證得點E是線段AC的中點；然后由三角形中位線定理，圓心角、弧、弦間的關系來證明；連接OP，由切線的判定證得OP⊥PF即可．
解答：解：連接AP．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°（直徑所對的圓周角是直角），即AP⊥BC；
又∵AB=AC，
∴點P是線段BC的中點，
故①正確；
同理，點E是線段AC的中點，
∴AE=EC，
故④正確；
∵連接PE．
點P、E分別是線段BC、AC的中點，BC=AC=AB（等邊三角形的三條邊相等），
∴PE=AB（三角形中位線定理），BP=BC=AB，
∴BP=PE（等量代換），
∴=，
故②正確；
連接OP．
∵點P是線段BC的中點，點O是線段AB的中點，
∴OP是△ABC的中位線，
∴OP∥AC；
又∵PF⊥AC，
∴PF⊥OP，
∵點P在⊙O上，
∴PF是⊙O的切線；
故③正確．
綜上所述，正確的結論有①②③④．
故答案是：①②③④．
點評：此題考查的是切線的判定與性質、等邊三角形的性質及圓周角定理．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．