Question

已知拋物線C₁：y=-x²+2mx+1（m為常數(shù)，且m＞0）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C；拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于y軸對(duì)稱，其頂點(diǎn)為B，連接AC，BC，AB。
（1）當(dāng)m=1時(shí)，判定△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）拋物線C₁上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形？如果存在，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，△ABC為等腰直角三角形， 理由如下： 如圖：∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)C又在y軸上， ∴AC=BC， 過(guò)點(diǎn)A作拋物線C1的對(duì)稱軸，交x軸于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E， 當(dāng)m=1時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1，2）， ∴CE=1， 又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）， ∴AE=2-1=1， ∴AE=CE，從而∠ECA=45°， ∴∠ACy=45°， 由對(duì)稱性知∠BCy=∠ACy=45°， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC為等腰直角三角形；
（2）假設(shè)拋物線C1上存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形，則PC=AB=BC， 由（1）知，AC=BC， ∴AB=BC=AC，從而△ABC為等邊三角形， ∴∠BAC=60°， 四邊形ABCP為菱形， ∴CP∥AB， ∴∠ACE=60°， ∵點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（m，m2+1），C（0，1）， ∴AE=m2+1-1=m2，CE=m， 在Rt△ACE中，tan60°===， 故拋物線C1上存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形，此時(shí)m=。