Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上運(yùn)動(dòng)，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．四邊形MEFN面積的最大值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：作梯形ABCD的高DG、CH，先通過(guò)梯形兩底的差和腰的長(zhǎng)求出DG=4，再證明△MEA≌△NFB，得到AE=BF，設(shè)AE=x，則EF=7-2x，根據(jù)△MEA∽△DGA，求出ME=x，根據(jù)矩形的面積公式得出S_矩形MEFN和x的關(guān)系式，化成頂點(diǎn)式即可求出答案．
解答：如圖，分別過(guò)D，C兩點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥AB于點(diǎn)H．
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH．
∴四邊形DGHC為矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL），
∴AG=BH=（AB-GH）=3．
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
∴DG=4．
∵M(jìn)N∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠MEF=90°，
∴ME=NF，ME∥NF，
∴四邊形MEFN為矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵M(jìn)E=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF，
設(shè)AE=x，則EF=7-2x，
∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA，
∴=，
∴ME=x，
S_矩形MEFN=ME•EF=x（7-2x）=-（x-）²+．
當(dāng)x=時(shí)，ME=＜4，
∴四邊形MEFN面積的最大值為．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．題型較好，綜合性強(qiáng)，有一定的難度．