Question

如圖，已知直線l₁：y=x+與直線l₂：y=﹣2x+16相交于點C，l₁、l₂分別交x軸于A、B兩點．矩形DEFG的頂點D、E分別在直線l₁、l₂上，頂點F、G都在x軸上，且點G與點B重合．
（1）求△ABC的面積；
（2）求矩形DEFG的邊DE與EF的長；
（3）若矩形DEFG沿x軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，設移動時間為t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由x+=0，得x=﹣4． ∴A點坐標為（﹣4，0）， 由﹣2x+16=0，得x=8． ∴B點坐標為（8，0）， ∴AB=8﹣（﹣4）=12， 由，解得， ∴C點的坐標為（5，6）， ∴S△ABC=AB·CM=×12×6=36； （2）∵點D在l1上，且xD=xB=8， ∴yD=×8+=8， ∴D點坐標為（8，8）， 又∵點E在l2上，且yE=yD=8， ∴﹣2xE+16=8， ∴xE=4， ∴E點坐標為（4，8）， ∴DE=8﹣4=4，EF=8； （3）①當0≤t<3時，如圖1，矩形DEFG與△ABC重疊部分為五邊形CHFGR（t=0時，為四邊形CHFG）． 過C作CM⊥AB于M，則Rt△RGB∽Rt△CMB， ∴，即， ∴RG=2t， ∵Rt△AFH∽Rt△AMC， ∴S=S△ABC﹣S△BRG﹣S△AFH=36﹣×t×2t﹣（8﹣t）×（8﹣t）， 即S=﹣t2+t+； ②當3≤t<8時，如圖2所示，矩形DEFG與△ABC重疊部分為梯形HFGR，由①知，HF=（8﹣t）， ∵Rt△AGR∽Rt△AMC， ∴ =，即=， ∴RG=（12﹣t）， ∴S=（HF+RG）×FG=[（8﹣t）+（12﹣t）]×4，即S=﹣t+； ③當8≤t≤12，如圖3所示，矩形DEFG與△ABC重疊部分為△AGR， 由②知，AG=12﹣t，RG=（12﹣t）， ∴S=AG·RG=（12﹣t）×（12﹣t），即S=（12﹣t）2， ∴S=t2﹣8t+48．

圖1 圖2 圖3