Question

△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為a，DF⊥AB，EF⊥AC，

（1）求證：△BDF∽△CEF；

（2）若a=4，設(shè)BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時(shí)S取最大值；

（3）已知A、D、F、E四點(diǎn)共圓，已知tan∠EDF=，求此圓直徑．

 

 

Answer 1

(1)證明見解析

(2)S與m之間的函數(shù)關(guān)系為：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．當(dāng)m=2時(shí)，S取到最大值，最大值為3

(3)此圓直徑長(zhǎng)為．

【解析】

試題分析：（1）由已知可知∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，所以得證．

（2）四邊形ADFE面積S可以看成△ADF與△AEF的面積之和，這兩個(gè)三角形均為直角三角形，在△BDF與△CEF中，由三角函數(shù)可以用m表示出BD、DF、CE、EF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AD、AE的長(zhǎng)，從而可以用含m的代數(shù)式表示S，然后通過配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，就可以解決問題．

（3）由已知易知AF就是圓的直徑，利用圓周角定理將∠EDF轉(zhuǎn)化為∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通過解直角三角形就可求出AF長(zhǎng)．

試題解析：（1）:∵DF⊥AB，EF⊥AC，

∴∠BDF=∠CEF=90°．

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°．

∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，

∴△BDF∽△CEF．

（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，

∴sin60°==，cos60°==．

∵BF=m，

∴DF=m，BD=．

∵AB=4，

∴AD=4﹣．

∴S△ADF=AD•DF

=×（4﹣）×m

=﹣m2+m．

同理：S△AEF=AE•EF

=×（4﹣）×（4﹣m）

=﹣m2+2．

∴S=S△ADF+S△AEF

=﹣m2+m+2

=﹣（m2﹣4m﹣8）

=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．

∵﹣＜0，0＜2＜4，

∴當(dāng)m=2時(shí)，S取最大值，最大值為3．

∴S與m之間的函數(shù)關(guān)系為：

S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．

當(dāng)m=2時(shí)，S取到最大值，最大值為3．

（3）如圖2，

∵A、D、F、E四點(diǎn)共圓，

∴∠EDF=∠EAF．

∵∠ADF=∠AEF=90°，

∴AF是此圓的直徑．

∵tan∠EDF=，

∴tan∠EAF=．

∴=．

∵∠C=60°，

∴=tan60°=．

設(shè)EC=x，則EF=x，EA=2x．

∵AC=a，

∴2x+x=a．

∴x=．

∴EF=，AE=．

∵∠AEF=90°，

∴AF==．

∴此圓直徑長(zhǎng)為．

考點(diǎn)：1、相似三角形；2、二次函數(shù)的最值；3、三角函數(shù)；4、解直角三角形