Question

如圖，△ABC中，AB=AC，BC=6，O是BC的中點，圓O與兩腰相切，動點P在圓O上，過點P的圓O切線分別和AB，AC的延長線相交于點D，E． BD•CE的值是常量嗎？若是常量，請求之；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心

專題：

分析：BD•CE的值是常量，連接OD，OE，AO并延長交BC于P′易證△ADE是等腰三角形，所以∠ADB=∠AED，由題意可知O為△ADE的內心，所以DO平分∠ADE，OE平分∠AED，所以∠BDO=∠CEO，進而證明△DBO∽△ECO，由相似三角形的性質可得BD•CE的值．

解答：解：BD•CE的值是常量，
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DBO=∠ECO，
∵過點P的圓O切線分別和AB，AC的延長線相交于點D，E，
∴OP⊥DE，
∵O是BC的中點，
∴AO⊥BC，
∴A，O，P′三點共線，
∴BC∥DE，
∴∠ADB=∠AED，
由題意可知O為△ADE的內心，
∴DO平分∠ADE，OE平分∠AED，
∴∠BDO=∠CEO，
∴△DBO∽△ECO，
∴

BO

CE

=

BD

CO

，
∴BD•CE=BO•CO=3×3=9，

點評：本題考查了切線的性質，三角形的內切圓的性質，等腰三角形的判定和相似三角形的判定與性質等知識，根據(jù)已知得出△BOD∽△CEO是解題關鍵．