Question

如果a為不等于±2的整數(shù)，證明方程x⁴+ax+1=0沒有有理根．

Answer 1

證明：若a=2或者-2，方程有有理根，
當=2時，有理根x=-1；等于-2時，有理根x=1．這個根據(jù)配方法得來．
x⁴±2x+1=0，即x⁴-x²+x²±2x+1=x²（x+1）（x-1）+（x±1）²=0，此等式有公因式，可得x=±1．
而由題意知：a≠±2，即x≠±1．
則有a=-=-x³-，其中x≠±1．
a為整數(shù)，而a=-x³-，若x為整數(shù)且x≠±1，那么x³為整數(shù)，為小數(shù)，整數(shù)與小數(shù)之和或者差，皆為小數(shù)，故x不能是整數(shù)．
若x為分數(shù)，那么設x=，其中c、b互質(zhì)且為整數(shù)，b≠0．
那么-x³-=-=-．由此代數(shù)式知：因為c、b互質(zhì)，故此代數(shù)式的值不為整數(shù)．
故當x為整數(shù)或者分數(shù)時，a為整數(shù)均不能成立．
故當a為整數(shù)時，方程沒有有理根．
分析：首先用x表示出a，即a=-x³-，再進一步分析x的取值，x不是整數(shù)，若x為分數(shù)，那么設x=，其中c、b互質(zhì)且為整數(shù)，從而確定x的取值范圍．
點評：此題主要考查了一元二次方程有理根以及整數(shù)根的有關知識，以及兩數(shù)互質(zhì)問題，綜合性較強．