Question

（2013•梧州一模）等邊△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，D是⊙O上一點(diǎn)，連接CD并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交CF于點(diǎn)E．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若AC=6，CD=4，求CF的值．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G，連接CG．欲證明BE是⊙O的切線，只需證得GB⊥BE即可；
（2）如圖，連接AD．構(gòu)建相似三角形：△CFA∽△CAD．所以通過(guò)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

CF

CA

=

AC

DC

，把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入即可求得CF=

6

4

×6=9．

解答：（1）證明：如圖，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G，連接CG．則∠BCG=90°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠CAB=∠ACB=60°，
∴∠CGB=∠CAB=60°
∴∠CBG=30°．
∵AC∥BE
∴∠CBE=∠ACB=60°
∴∠CBE+∠CBG=∠GBE=90°，
∴BE是⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接AD．則∠ADC=∠ABC．
∵∠ABC=∠BAC=60°
∴∠BAC=∠ADC=60°，
∵∠ACD=∠FCA
∴△CFA∽△CAD
∴

CF

CA

=

AC

DC

．
∵AC=6，CD=4
∴CF=

6

4

×6=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．