Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，E為AC中點，連接ED并延長交CB的延長線于F
（1）求證：△CDF∽△DBF；
（2）若AC=4，BC=3，求BD及；
（3）若（2）的條件不變，P為△ACD的重心，求P到AC的距離．

Answer 1

（1）證明：∵CD⊥AB于D，
∴∠BCD=∠A，
∵E是AC的中點，∴AE=ED，∴∠A=∠EDA=∠FDB，
∴∠FDB=∠FCD，
又∠F=∠F，
∴△CDF∽△DBF．

（2）AC=4，BC=3，∴AB=5，CD=．
△BCD∽△BAC，∴BC²=BD•BA，∴BD==．
由（1）得：===．

（3）如圖：
過點D作DH⊥AC于H，過點P作PG⊥AC于G，
則：AC=4，CD=2.4，AD=3.2，
DH==1.92．
PG=DH=0.64．
所以P到AC的距離為0.64．
分析：（1）根據同角的余角相等得到∠A=∠BCD，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及對頂角相等進行等量代換得到∠FCD=∠FDB，另外有一個公共角，可以證明兩三角形相似．（2）根據相似三角形對應線段的比相等，可以求出BD的長和的值．（3）根據重心到對邊中點的距離等于到頂點距離的一半，得到PG=DH，求出PG的長．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，（1）證明兩角對應相等判定兩個三角形相似．（2）根據兩三角形相似，對應線段成比例，求出線段的長以及線段的比．（3）根據相似三角形對應高的比等于相似比可以求出點P到AC的距離．