Question

7．平面直角坐標(biāo)系中，點P（x，y）的橫坐標(biāo)x的絕對值表示為|x|，縱坐標(biāo)y的絕對值表示為|y|，我們把點P（x，y）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值之和叫做點P（x，y）的勾股值，記為「P」，即「P」=|x|+|y|．（其中的“+”是四則運算中的加法）例如：如果A（-1，3），那么「A」=|-1|+|3|=4．
（1）點M在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上，且「M」=4，求點M的坐標(biāo)；
（2）求滿足條件「N」=3的所有點N圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{m}$），根據(jù)勾股值的定義式可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，將m的值代入到點M的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)點N的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)勾股值的定義式可分段找出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，畫出圖象根據(jù)菱形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{m}$），
∵「M」=4=|m|+|$\frac{3}{m}$|，
∴m²-4m+3=0，或m²+4m+3=0，
解得：m₁=1，m₂=3，m₃=-1，m₄=-3．
∴點M的坐標(biāo)為（-3，-1），（-1，-3），（1，3）和（3，1）．
（2）設(shè)點N的坐標(biāo)為（x，y），
∵「N」=3=|x|+|y|，
∴分三種情況考慮．
①xy＞0時，x+y=3（x、y均為正），或x+y=-3（x、y均為負）；
②xy＜0時，x-y=3（x＞0，y＜0），或-x+y=3（x＜0，y＞0）；
③xy=0時，x=0，y=±3，或y=0，x=±3．
畫出圖象如圖所示．

點A（0，3），B（3，0），C（0，-3），D（-3，0）．
圍城圖形的面積S=BD•AC=[3-（-3）]×[3-（-3）]=6×6=36．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）找出關(guān)于m的一元二次方程；（2）分段找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，正確理解勾股值的定義以及能夠正確運用勾股值的定義式是關(guān)鍵．