Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的半圓分別與AB、AC邊相切于D、E兩點(diǎn)，連接OD，已知BD=1，AD=2，則圖中兩部分陰影面積的和為（　�。�

• A、5+π
• B、4+π
• C、6+

  1

  2

  π
• D、8+

  1

  3

  π

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：幾何圖形問題

分析：連接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根據(jù)∠A=90°，推出矩形ADOE，進(jìn)一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出tanC=

1

2

；
設(shè)⊙O與BC交于M、N兩點(diǎn)，由四邊形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根據(jù)tanC=

1

2

，OE=2，求出EC的長度，根據(jù)S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE，即可求出陰影部分的面積．

解答：解：如圖，連接OE．設(shè)⊙O與BC交于M、N兩點(diǎn)．
∵AB、AC分別切⊙O于D、E兩點(diǎn)，
∴AD⊥OD，AE⊥OE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四邊形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=2，∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，tan∠BOD=

BD

OD

=

1

2

，
∴tanC=

1

2

．
∵在Rt△EOC中，tanC=

OE

CE

=

1

2

．OE=2，
∴CE=4，
∴S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE=

1

4

S_圓O=

1

4

π×2²=π，
∴S_陰影=S_△BOD+S_△COE-（S_扇形DOM+S_扇形EON）=

1

2

×1×2+

1

2

×4×2-π=5-π，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的定義，扇形的面積，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．