Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線的頂點(diǎn)，過A、B、C 作⊙P．
（1）求b、c的值；
（2）求證：①線段AB是⊙P的直徑；②直線CD是⊙P的切線；
（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)（1）求得拋物線的解析式，求得C的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判定∠ACB=90°，從而確定AB為直徑；連接PC，根據(jù)P、C的坐標(biāo)求得直線PC的解析式，根據(jù)C、D的坐標(biāo)求得直線CD的解析式，根據(jù)它們的斜率即可判斷PC⊥CD，從而證明線CD是⊙P的切線；
（3）存在，分兩種情況考慮討論求得；

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（-1，0），
∴

0=- 1 2 ×16+4b+c 0=- 1 2 ×1-b+c

，解得：

b= 3 2 c=2

；

（2）由（1）可知拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，C（0，2），
∵A（4，0）、B（-1，0），
∴BC²=OB²+OC²=1+4=5，AC²=OA²+OC²=16+4=20，AB²=25，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴線段AB是⊙P的直徑；
連接PC，
∵A（4，0）、B（-1，0），
∴P（

3

2

，0），
設(shè)直線PC的解析式為：y=kx+b，則

0= 3 2 k+b 2=c

，解得：

k=- 4 3 b=2

，
∴直線PC的解析式為y=-

4

3

x+2，
∵拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴D（

3

2

，

25

8

），
設(shè)直線DC的解析式為：y=k₁x+d，
則

25 8 = 3 2 k+d 2=d

，解得

k1= 3 4 d=2

，
∴直線DC的解析式為y=

3

4

x+2，
∵k•k₁=-

4

3

×

3

4

=-1，
∴PC⊥DC，
∴線CD是⊙P的切線；

（3）存在，分兩種情況考慮：
①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時，如答圖1所示：

四邊形ACMN為平行四邊形，CM∥AN，CM=AN，
由對稱性得到M（3，2），即CM=3，故AN=3，
∴N₁（1，0），N₂（7，0）；
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時，如答圖2所示：

過點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P，可得△ACO≌△NMP，
∴MP=CQ=2，NP=AO=4，
將y=-2代入拋物線解析式得：-2=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
解得：x=

3+ 41

2

3或x=

3- 41

2

，
∴N₃（-4+

3- 41

2

，0），N₄（

3+ 41

2

-4，0）．
即N₃（

-5- 41

2

，0），N₄（

-5+ 41

2

，0）
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N有四個：N₁（1，0），N₂（7，0），N₃（

-5- 41

2

，0），N₄（

-5+ 41

2

，0）；

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定拋物線解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，圓的切線的判定以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，是一道多知識點(diǎn)的探究型試題．