Question

已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)洗中，點(diǎn)A （11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P 不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)O 、P 折疊該紙片，得點(diǎn)B ′和折痕OP，設(shè)BP=t。

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠BOP=30 °時(shí)，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)；
（Ⅱ）如圖②，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 再次折疊紙片，使點(diǎn)C 落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t 的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA 上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）。

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)題意，∠OBP=90 °，OB=6 ， 在Rt △OBP 中，由∠BOP=30 °，BP=t ，得OP=2t， ∵OP2=OB2+BP2， 即（2t ）2=62+t2， 解得：t1=，t2=-（舍去）， ∴點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（，6）； （Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP ， ∴∠OPB ′= ∠OPB ，∠QPC ′= ∠QPC， ∵∠OPB ′+ ∠OPB+ ∠QPC ′+ ∠QPC=180 °， ∴∠OPB+ ∠QPC=90 °， ∵∠BOP+ ∠OPB=90 °， ∴∠BOP= ∠CPQ， 又∵∠OBP= ∠C=90 °， ∴△OBP ∽△PCQ， ∴， 由題意設(shè)BP=t ，AQ=m ，BC=11 ，AC=6 ，則PC=11-t ，CQ=6-m， ∴， ∴（0 ＜t ＜11 ）． （Ⅲ）過(guò)點(diǎn)P 作PE ⊥OA 于E ， ∴∠PEA= ∠QAC ′=90 °， ∴∠PC ′E+ ∠EPC ′=90 °， ∵∠PC ′E+ ∠QC ′A=90 °， ∴∠EPC ′= ∠QC ′A ， ∴△PC ′E ∽△C ′QA， ∴PE AC ′ =PC ′ C ′Q， ∵PC ′=PC=11-t ，PE=OB=6 ，AQ=m ，C ′Q=CQ=6-m ， ∴AC ′=， ∴， ∵m=， 解得：t1=，t2=， 點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（，6 ）或（，6）。