Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長線上的點，∠APD=30°．
（1）求證：DP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連結OD、DB，根據圓周角定理得到∠1=∠ACD=60°，則可判斷△ODB為等邊三角形，所以∠2=60°，則得到∠ODP=90°，于是根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）在Rt△ODP中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到PD=

3

OD=2

3

，然后利用扇形的面積公式和陰影部分的面積=S_△ODP-S_扇形OBD進行計算即可．

解答：（1）證明：連結OD、DB，如圖，
∵∠1=∠ACD=60°，
而OD=OB，
∴△ODB為等邊三角形，
∴∠2=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=90°，
∴OD⊥PD，
∴DP是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ODP中，∠P=30°，OD=2，
∴PD=

3

OD=2

3

，
∴陰影部分的面積=S_△ODP-S_扇形OBD
=

1

2

×2×2

3

-

60•π•22

360

=（2

3

-

2

3

π）cm²．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和扇形的面積公式．