Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，AD=CD．
（1）連接AC，△ACD的形狀是

等邊三角形

；
（2）求證：BD²=AB²+BC²．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理“有一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形”推知△ACD是等邊三角形．
（2）如圖，以BC為邊向形外作等邊△BCE，連接AE．構(gòu)造全等三角形（△BCD≌△ECA），然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、勾股定理證得結(jié)論．

解答：解：（1）如圖，連接AC．
∵∠ADC=60°，AD=CD，
∴△ACD是等邊三角形；
故答案是：等邊三角形；

（2）如圖，以BC為邊向形外作等邊△BCE，連接AE．
由（1）知，△ACD是等邊三角形，
則DC=AC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，
在△BCD與△ECA，
∵

DC=AC ∠DCB=∠ACE BC=EC

，
∴△BCD≌△ECA（SAS），
∴AE=BD，
∵∠ABE=90°，
∴在Rt△ABE中，有AB²+BE²=AE²，即AB²+BC²=BD²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意此題的輔助線的作法．