Question

19．已知：平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD的長是關(guān)于x的方程 x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的兩個實數(shù)根．
（1）當(dāng)m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；
（2）若AB的長為2，那么平行四邊形ABCD的周長是多少？
（3）如果這個方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂，且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)AB=AD時，四邊形ABCD是菱形，即方程 x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的兩個相等實數(shù)根，根據(jù)根的判別式為0可得關(guān)于m的方程，解之可得m的值，再還原方程，求解可得；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得$\left\{\begin{array}{l}{2+AD=m}\\{2AD=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解之可得AD的長，繼而得出周長；
（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$，代入到（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，解之可得．

解答 解：（1）當(dāng)AB=AD時，四邊形ABCD是菱形，即方程 x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的兩個相等實數(shù)根，
∴m²-4（$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$）=0，
解得：m=1，
此時方程為x²-x+$\frac{1}{4}$=0，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴這時菱形的邊長為$\frac{1}{2}$；

（2）根據(jù)題意知，$\left\{\begin{array}{l}{2+AD=m}\\{2AD=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得：AD=$\frac{1}{2}$，
∴平行四邊形ABCD的周長是2×（2+$\frac{1}{2}$）=5；

（3）∵方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$，
代入到（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，可得$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$-3m+9=5m，
解得：m=$\frac{7}{6}$．

點評 本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，理解題意得出相應(yīng)的方程是解題的關(guān)鍵．