Question

如圖，已知△ABC，以BC為直徑，O為圓心的半圓交AC于點F，點E為的中點，連接BE交AC于點M，AD為△ABC的角平分線，且AD⊥BE，垂足為點H。
（1）求證：AB是半圓O的切線；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的長。

Answer 1

解：（1）連接EC，
∵BC是直徑，
∴E=90°
∵AD⊥BE于H，∴∠AHM=90°
∵∠1=∠2
∴∠3=∠4
∵AD是△ABC的角平分線
∴∠4=∠5=∠3，
又∵E為的中點，
∴∠3=∠7=∠5，
∵AD⊥BE于H，
∴∠5+∠6=90°，即∠6+∠7=90°
又∵BC是直徑，
∴AB是半圓O的切線；
（2）∵AB=3，BC=4，
由（1）知，∠ABC=90°，
∴AC=5
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2
由△CME∽△BCE，得
∴EB=2EC，
BE=。