Question

關(guān)于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0（m＞0）
（1）求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）如果這個方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂，且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：證明題

分析：（1）先根據(jù)判別式的值得到△=4m+1，由m＞0得到△＞0，則根據(jù)判別式的意義得到此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=

2m-1

m

，x₁•x₂=

m-2

m

，由（x₁-3）（x₂-3）=5m變形得到x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，所以

m-2

m

-3•

2m-1

m

+9=5m，
整理得5m²-4m-1=0，解方程得m₁=-

1

5

（舍去），m₂=1，所以m=1．

解答：（1）證明：△=（2m-1）²-4m（m-2）
=4m+1，
∵m＞0，
∴4m+1＞0，
∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解：根據(jù)題意得x₁+x₂=

2m-1

m

，x₁•x₂=

m-2

m

，
∵（x₁-3）（x₂-3）=5m，
∴x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，
∴

m-2

m

-3•

2m-1

m

+9=5m，
整理得5m²-4m-1=0，解得m₁=-

1

5

，m₂=1，
而m＞0，
∴m=1．

點評：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．