Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，AE⊥AB交BC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)在DA的延長線上，且AF=AD．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若cos∠ABF=，求的值．

Answer 1

（1）證明：連接BE，可得出BE必過圓心，則BE是圓的半徑，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AF=AD，AE⊥AB，
∴BF=BD，
∴∠FBA=∠ABD，
∴∠C=∠E=∠FBA，
∵∠BAE=90°，
∴∠FBA+∠ABC+∠CBE=90°，
∴∠FBE=90°，
∴BF是⊙O的切線；

（2）解：∵BF是⊙O的切線，
∴∠FBA=∠E=∠ABD，
∵cos∠ABF=，
∴設(shè)AB=4x，則BF=5x，AD=3x，BD=5x，
設(shè)AE=4y，則BE=5y，
∴（4x）²+（4y）²=（5y）²，
解得：y=x，
∴AE=x×4=x，
∴DE=x，
∵AD×DE=BD×CD，
∴3x•x=5x•CD，
解得：CD=x，
∴==．
分析：（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出∠FBA=∠ABD，進(jìn)而求出∠FBA+∠ABC+∠CBE=90°，即可得出答案；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD，AD，DE的長，進(jìn)而求出CD的長，進(jìn)而得出答案．
點(diǎn)評：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及相交線定理和勾股定理等知識，根據(jù)已知用一個未知數(shù)表示出AD，DE，BD，CD的長是解題關(guān)鍵．