Question

兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC不動(dòng)，將△DEF進(jìn)行如下操作：

 （1）如圖1，△DEF沿線段AB向右平移（即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng)），連結(jié)DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請(qǐng)求出其面積.

（2）如圖2，當(dāng)D點(diǎn)移到AB的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由.

（3）如圖3，△DEF的D點(diǎn)固定在AB的中點(diǎn)，然后繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時(shí)F點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，連結(jié)AE，請(qǐng)你求出sinAED的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）過點(diǎn)C作CG⊥AB于G

在Rt△ACG中  ∵∠A＝60°

∴sin60°＝  ∴  ……………1分

在Rt△ABC中   ∠ACB＝90°∠ABC＝30°

∴AB=2   …………………………………………2分

∴………3分

（2）菱形………………………………………4分

∵D是AB的中點(diǎn)  ∴AD=DB=CF=1

在Rt△ABC中，CD是斜邊中線  ∴CD=1……5分

同理 BF=1    ∴CD=DB=BF=CF

∴四邊形CDBF是菱形…………………………6分

（3）在Rt△ABE中   

 ∴……………………………7分

過點(diǎn)D作DH⊥AE  垂足為H

則△ADH∽△AEB    ∴

即   ∴ DH=   ……8分

在Rt△DHE中 

sinα==…=  …………………9分

【解析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得到AD=BE，再結(jié)合兩條平行線間的距離相等，則三角形ACD的面積等于三角形BEF的面積，所以要求的梯形的面積等于三角形ABC的面積．根據(jù)60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的長(zhǎng)，從而求得其面積；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平移的性質(zhì)，即可得到該四邊形的四條邊都相等，則它是一個(gè)菱形；

（3）過D點(diǎn)作DH⊥AE于H，可以把要求的角構(gòu)造到直角三角形中，根據(jù)三角形ADE的面積的不同計(jì)算方法，可以求得DH的長(zhǎng)，進(jìn)而求解．