Question

6．如圖所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=6cm，BC=14cm，∠B=60°，P為下底BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PE交DC于點(diǎn)E，使得∠APE=∠B．
（1）試說(shuō)明：△APB∽△PCE；
（2）在底邊BC上是否存在一點(diǎn)P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，易得∠B=∠C，又由∠APE=∠B，可得∠BAP=∠CPE，繼而證得：△APB∽△PCE；
（2）首先由DE：EC=5：3，求得CE的長(zhǎng)，然后由設(shè)BP=xcm，則PC=BC-BP=14-x（cm），由△APB∽△PCE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答 （1）證明：由∠APC為△ABP的外角得：∠APC=∠B+∠BAP，
又∵∠APC=∠APE+∠CPE，∠B=∠APE，
∴∠BAP=∠CPE，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE（如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似） …（8分）

（2）解：存在這樣的點(diǎn)P．
理由如下：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，
∴CD=AB=8cm，
∵DE：EC=5：3，DE+CE=CD=8cm，
∴CE=$\frac{3}{8}$CD=3cm，
設(shè)BP=xcm，則PC=BC-BP=14-x（cm），
∵△ABP∽△PCE，
∴$\frac{AB}{CP}$=$\frac{BP}{CE}$，
即：$\frac{8}{14-x}$=$\frac{x}{3}$，
解得x₁=12，x₂=2，經(jīng)檢驗(yàn)，都符合題意
故BP=12或BP=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰梯形的性質(zhì)．注意掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．