Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，線段AD是BC邊上的中線，如圖①，將△ADC沿直線BC平移，使點D與點C重合，得到△FCE；如圖②，再將△FCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤90°），連接AF、DE.

（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠ACE=150°時，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；

（2）請?zhí)骄吭谛�轉(zhuǎn)過程中，四邊形ADEF能形成那些特殊四邊形？請說明理由.

Answer 1

24．

解：（1）在圖①中，∵∠BAC=90°，∠B=30°，

∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．

在旋轉(zhuǎn)過程中，分兩種情況：

①當(dāng)點E和點D在直線AC兩側(cè)時，如圖2，

∵∠ACE=150°，

∴α=150°﹣120°=30°；

②當(dāng)點E和點D在直線AC的同側(cè)時，如備用圖，

∵∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B=60°，

∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACB=150°﹣60°=90°，

∴α=180°﹣∠DCE=90°．

∴旋轉(zhuǎn)角α為30°或90°；

（2）四邊形ADEF能形成等腰梯形和矩形．

∵∠BAC=90°，∠B=30°，，

又AD是BC邊上的中線，∴AD=CD=BC=AC，

∴△ADC為正三角形．

①當(dāng)α=60°時，∠ACE=120°+60°=180°，

∵CA=CE=CD=CF，∴四邊形ADEF為平行四邊形，

又∵AE=DF，∴四邊形ADEF為矩形，

②當(dāng)α≠60°時，∠ACF≠120°，∠DCE=360°﹣60°﹣60°﹣∠ACF≠120°，

顯然DE≠AF，

∵AC=CF，CD=CE

∵2∠FAC+∠ACF=180°，2∠CDE+∠DCE=180°∠ACF+∠DCE=360°﹣60°﹣60°=240°，

∴2∠FAC+2∠CDE=120°，

∴∠FAC+∠CDE=60°，

∵∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°

∴AF∥DE．

∴四邊形ADEF為等腰梯形．