Question

14．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在BC上，過D點作DG⊥DE交BA的延長線于G．
（1）求證：DE=DG；
（2）以線段DE、DG為邊作出正方形DEFG，點K在AB上且BK=AG，連接KF，請畫出圖形，猜想四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想；
（3）當$\frac{CE}{CB}=\frac{m}{n}$時，請直接寫出$\frac{{S}_{正方形ABCD}}{{S}_{正方形DEFG}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知證明DE、DG所在的三角形全等，再通過等量代換證明DE⊥DG；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)分別以點G、E為圓心以DG為半徑畫弧交點F，得到正方形DEFG，由已知首先證四邊形CKGD是平行四邊形，然后證明四邊形CEFK為平行四邊形；
（3）由$\frac{CE}{CB}=\frac{m}{n}$，設(shè)CE=mx，CB=nx，于是得到CD=nx，根據(jù)勾股定理得到DE²=CE²+CD²=n²x²+m²x²=（n²+m²）x²，由于BC²=n²x²，即可得到結(jié)論；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．
在△DCE與△DAG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=DA}\\{∠DCE=∠DAG}\\{CE=AG}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DAG，
∴DE=DG；

（2）解：四邊形CEFK為平行四邊形．
證明：設(shè)CK、DE相交于M點，
∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，
∵BK=AG，
∴KG=AB=CD，
∴四邊形CKGD是平行四邊形，
∴CK=DG=EF，CK∥DG，
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，
∴∠KME+∠DEF=180°，
∴CK∥EF，
∴四邊形CEFK為平行四邊形．

（3）解：∵$\frac{CE}{CB}=\frac{m}{n}$，
∴設(shè)CE=mx，CB=nx，
∴CD=nx，
∴DE²=CE²+CD²=n²x²+m²x²=（n²+m²）x²，
∵BC²=n²x²，
∴$\frac{{S}_{正方形ABCD}}{{S}_{正方形DEFG}}$=$\frac{B{C}^{2}}{D{E}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+{n}^{2}}$．

點評 此題考查的知識點是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定及作圖，解題的關(guān)鍵是先由正方形的性質(zhì)通過證三角形全等得出結(jié)論，此題較復(fù)雜．