Question

已知：⊙O是正三角形ABC的外接圓．
（1）如圖1，若PC為⊙O的直徑，連接AP，BP，求證：AP+BP=PC；
（2）如圖2，若點(diǎn)P是弧AB上任一點(diǎn)，連接AP，B

P，那么結(jié)論AP+BP=PC還成立嗎？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

證明：（1）∵△ABC為正三角形，
∴∠APC=∠BPC=60°，
∵PC為⊙O的直徑，
∴∠PAC=∠PBC=90°，
∴AP=BP=

1

2

PC，
∴AP+BP=PC；

（2）成立．
在PC上取一點(diǎn)D，使PD=PA，連接AD；
∵∠APD=60°，
∴△APD為等邊三角形，
∴AD=PD；
∵∠PAD=∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC，
∵AP=AD，AB=AC，
∴△APB≌△ADC，
∴PB=DC，
∴PA+PB=PD+DC=PC．