Question

1．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點(diǎn)E，給出下列結(jié)論：①圖中有2對(duì)相似三角形；②線段CE長(zhǎng)的最大值為6.4；③當(dāng)AD=DC時(shí)，BD的長(zhǎng)為$\frac{39}{4}$．其中正確的結(jié)論是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；
②由△CDE∽△BAD，BC=16，AB=10，設(shè)BD=y，CE=x，可得$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{CE}$，即$\frac{10}{16-y}$=$\frac{y}{x}$，整理得：y²-16y+64=64-10x，即（y-8）²=64-10x，由64-10x≥0即可解決問(wèn)題．
③當(dāng)DA=DC時(shí)，易證△ADC∽△BAC，得$\frac{AD}{BA}$=$\frac{AC}{BC}$，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，∵∠DAE=∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
∴∠ECD=∠BAD，∵∠C=∠B，
∴△ABD∽△DCE，
∴圖中有2對(duì)相似三角形，故①正確，
∵△CDE∽△BAD，BC=16，AB=10，
設(shè)BD=y，CE=x，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{CE}$，
∴$\frac{10}{16-y}$=$\frac{y}{x}$，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∵64-10x≥0
∴0＜x≤6.4，
∴CE的最大值為6.4，故②正確，
當(dāng)DA=DC時(shí)，易證△ADC∽△BAC，
∴$\frac{AD}{BA}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{AD}{10}$=$\frac{10}{16}$，
∴AD=$\frac{25}{4}$，
∴BD=16-$\frac{25}{4}$=$\frac{39}{4}$，故③正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，二元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)用配方法確定變量x的取值范圍，屬于中考常考題型．