Question

（2013•肇慶一模）如圖，已知拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A （-4，0）和B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作y軸的平行線，交AC于Q點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）直接將A（-4，0），B（1，0）兩點(diǎn)代入拋物線解析式求出即可；
（2）首先求出直線AC的解析式，再利用拋物線上和直線上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出PQ的長(zhǎng)度即可．

解答：解：（1）由二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c與x軸交于A（-4，0），B（1，0）兩點(diǎn)可得：

1 2 ×(-4)2-4b+c=0 1 2 ×12+b+c=0

，
解得：

b= 3 2 c=-2

，
故所求二次函數(shù)解析式為：y=

1

2

x²+

3

2

x-2；

（2）由拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，則C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-2），
若設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
則有

-2=0+b 0=-4k+b

，
解得：

k=- 1 2 b=-2

，
故直線AC的解析式為：y=-

1

2

x-2，
若設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（a，

1

2

a²+

3

2

a-2），
又Q點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)P所作y軸的平行線與直線AC的交點(diǎn)，
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（a，-

1

2

a-2），則有：
PQ=[-（

1

2

a²+

3

2

a-2）]-（-

1

2

a-2）=-

1

2

a²-2a=-

1

2

（a+2）²+2，
即當(dāng)a=-2時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)取最大值，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-3）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法等知識(shí)，根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)表示出PQ的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．