Question

已知拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2。
（1）直線L：y=-x+2是否經(jīng)過拋物線的頂點；
（2）設該拋物線與x軸交于M、N兩點，當OM·ON=4，且OM≠ON時，求出這條拋物線的解析式。

Answer 1

解：（1）將y=-x²+2mx=m²-m+2
配方得：y=-（x-m）²-m+2
由此可知，拋物線的頂點坐標是：（m，-m+2），
把x=m代入y=x+2得y=-m+2，
顯然直線y=-x+2經(jīng)過拋物線y=-x²+2mx-m²-m+2的頂點；
（2）設M、N兩點的橫坐標分別為x₁，x₂，則x₁，x₂是方程-x²+2mx-m²-m+2=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁·x₂=m²+m-2
∵OM·ON=4
即|x₁·x₂|=4
∴m²+m-2=±4
當m²+m-2=4時
解得m₁=-3，m₂=2，
當m=2時，可得OM=ON不合題意，
所以m=-3，
當m²+m-2=-4時方程設有實數(shù)根，
因此所求的拋物線的解析式只能是 y=-x²-6x-4。