Question

如圖，在平面直角坐標系中，一拋物線的對稱軸為直線，與y軸負半軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，其中B點的坐標為（3，0），C點坐標為（0，-3）．

    ⑴求此拋物線的解析式；

⑵若點G（2，-3）是該拋物線上一點，點E是直線AG下方的拋物線上一動點，當點E運動到什么位置時，△AEG的面積最大？求出此時E點的坐標和△AEG的最大面積.

    ⑶若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點（其中點M在點N的右側(cè)），在x軸上是否存在點Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解： （1）

 （2）當E運動到時有最大面積，最大面積是，理由如下：

過E作EF⊥X軸于F，過G作GH⊥X軸于H 設(shè)E（），則F（），EF=-（）

因為G（2，-3）所以GH=3.

，，

所以

當時，有最大值為

將代入得所以E

           

E

   ，      

(3) 存在，Q（1，0）或()或（）

       理由:因為MN平行與x軸，所以M、N關(guān)于x=1對稱

     ⅰ若NQ=QM,則Q必在MN的中垂線即對稱軸x=1上，所以Q(1,0)

ⅱ若QN=MN,則∠QMN=90°,

設(shè),

MN==

QN=,所以=，其中

同理若 QM=MN,QM=,,綜上可得=

解得