Question

（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）；

（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡單說明理由；

（3）運(yùn)用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：

如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長．

Answer 1

解答：

解：（1）完成圖形，如圖所示：

證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，

∵在△CAD和△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴BE=CD；

（2）BE=CD，理由同（1），

∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠CAD=∠EAB，

∵在△CAD和△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴BE=CD；

（3）由（1）、（2）的解題經(jīng)驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，

則AD=AB=100米，∠ABD=45°，

∴BD=100米，

連接CD，則由（2）可得BE=CD，

∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，

在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，

根據(jù)勾股定理得：CD==100米，

則BE=CD=100米．