Question

如圖，已知直線y=x+2與兩坐標(biāo)軸分別交與A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，P為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線與拋物線交于C點(diǎn)．
（1）拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為D，連接AD，證明：△ABD為直角三角形；
（3）在直線AB上是否存在一點(diǎn)P，使得以O(shè)、A、P、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)B，
∴令y=0得x+2=0，解得x=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
∵直線y=x+2與y軸交于點(diǎn)A，
∴令x=0，解得y=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，
∴把（0，2），（4，0）分別代入y=x²+bx+c
得：，解得，
∴拋物線的解析式為y=﹣x²+x+2；
（2）連接AD，如圖所示：
∵拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為D，
∴令y=0得﹣x²+x+2=0，
解得x₁=4，x₂=﹣1，
又點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，0），在直角三角形AOB中，OA=2，OB=4，
根據(jù)勾股定理得：AB²=2²+4²=20，
在直角三角形AOD中，OA=2，OD=1，
根據(jù)勾股定理得：AD²=2²+1²=5，
又BD²=（OD+OB）²=（1+4）²=25，
∴BD²=AB²+AD²，則△ABD為直角三角形；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x+2），
∵PC⊥x軸，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x，
又點(diǎn)C在拋物線上，
∴點(diǎn)C（x，﹣x²+x+2），
①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使AOPC為平行四邊形，則OA=PC=2，
即﹣x²+x+2﹣（﹣x+2）=2，
化簡(jiǎn)得：x²﹣4x+4=0，
解得x=2或x=﹣2（舍去）
把x=2代入y=﹣x+2=1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）；
②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使AOCP為平行四邊形，則OA=PC=2，
即﹣x+2﹣（﹣x²+x+2）=2，
化簡(jiǎn)得：x²﹣4x﹣4=0，解得：x=2+2（舍去）或x=2﹣2，
把x=2﹣2代入y=﹣x+2=1+，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2﹣2，1+）；
③當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使AOCP為平行四邊形，則OA=PC=2，
即﹣x+2﹣（﹣x²+x+2）=2，
化簡(jiǎn)得：x²﹣4x﹣4=0，解得：x=2+2或x=2﹣2（舍去），
把x=2+2代入y=﹣x+2=1﹣，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2，1﹣），
綜上，使以O(shè)、A、P、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
滿足的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）；（2﹣2，1+）；（2+2，1﹣）．

            (2)                                                          ①                                                ②

                     ③