Question

如圖，半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，點C的坐標為
（1，0）．若拋物線y=﹣x²+bx+c過A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出點P的坐標；若不存在說明理由；
（3）若點M是拋物線（在第一象限內(nèi)的部分）上一點，△MAB的面積為S，求S的最大（�。┲担�

Answer 1

解：（1）如答圖1，連接OB． ∵BC=2，OC=1， ∴OB==， ∴B（0，）， 將A（3，0），B（0，）代入二次函數(shù)的表達式得，解得， ∴y=﹣x2+x+； （2）存在．如答圖2， 作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點P． ∵B（0，），O（0，0）， ∴直線l的表達式為y=．代入拋物線的表達式， 得﹣x2+x+=； 解得x=1±， ∴P（1±，）； （3）如答圖3，作MH⊥x軸于點H． 設M（xm，ym）， 則S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB =（MH+OB）·OH+HA·MH﹣OA·OB =（ym+）xm+（3﹣xm）ym﹣×3× =xm+ym﹣ ∵ym=﹣xm2+xm+， ∴S△MAB=xm+（﹣xm2+xm+）﹣ =xm2+xm =（xm﹣）2+ ∴當xm=時，S△MAB取得最大值，最大值為．