Question

如圖，AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點P，且CD，AB的長分別是一元二次方程x²-7x+12=0的兩根，則cos∠DPB=

 

．

Answer 1

考點：圓周角定理,相似三角形的判定與性質,銳角三角函數(shù)的定義

專題：計算題

分析：先利用因式分解法解方程得到AB=4，CD=3，再根據(jù)圓周角定理得∠C=∠ABP，∠CDP=∠A，則可判斷△PCD∽△PBA，利用相似的性質得

PD

PB

=

CD

AB

=

3

4

，
連接BD，如圖，由AB是半圓O的直徑得到∠ADB=90°，然后在Rt△PDB中根據(jù)余弦的定義求解．

解答：解：解方程x²-7x+12=0得x₁=3，x₂=4，則AB=4，CD=3，
∵∠C=∠ABP，∠CDP=∠A，
∴△PCD∽△PBA，
∴

PD

PB

=

CD

AB

=

3

4

，
連接BD，如圖，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△PDB中，cos∠DPB=

PD

PB

=

3

4

．
故答案為

3

4

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了相似三角形的判定與性質和銳角三角函數(shù)．