Question

2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．
（1）若∠A=25°，求$\widehat{BD}$的度數(shù)．
（2）若BC=9，AC=12，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求出∠B的度數(shù)，求出∠B所對(duì)的弧的度數(shù)，即可得出答案；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)割線定理得出比例式，即可得出答案．

解答 解：（1）延長(zhǎng)BC交⊙O于N，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，
∴∠B=65°，
∴∠B所對(duì)的弧BDN的度數(shù)是130°，
∴$\widehat{BD}$的度數(shù)是180°-130°=50°；

（2）延長(zhǎng)AC交⊙O于M，
在Rt△BCA中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
∵BC=9，AC=12，
∴CM=CE=BC=9，AM=AC+CM=21，AE=AC-CE=3，
由割線定理得：AD×AB=AE×AM，
∴（15-BD）×15=21×3，
解得：BD=$\frac{54}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，割線定理圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．