Question

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，1）、B（3，1），動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度移動，過P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA，垂足為Q，設(shè)P點(diǎn)移動的時(shí)間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S。
（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由圖象可知：拋物線經(jīng)過原點(diǎn)， 設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx（a≠0）， 把A（1，1），B（3，1）代入上式得： ， 解得， ∴所求拋物線解析式為；
（2）分三種情況： ①當(dāng)0＜t≤2，重疊部分的面積是S△OPQ， 過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F， ∵A（1，1）， ∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°， ∴PQ=OQ=tcos 45°=t， ∴； ②當(dāng)2＜t≤3，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)G，作GH⊥x軸于點(diǎn)H，∠OPQ=∠QOP=45°， 則四邊形OAGP是等腰梯形，重疊部分的面積是S梯形OAGP， ∴AG=FH=t-2， ∴； ③當(dāng)3＜t＜4，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，重疊部分的面積是S五邊形OAMNC， 因?yàn)椤鱌NC和△BMN都是等腰直角三角形， 所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC-S△BMN， ∵B（3，1），OP=t， ∴PC=CN=t-3， ∴ ∴ ;	圖1 圖2 圖3
（3）存在t1=1，t2=2。