Question

已知m，n為整數(shù)，方程x2+(n-2)

n-1

x+m+18=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，方程x2+(n-6)

n-1

x+m-37=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．求n的最小值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

n-1

有意義，則n-1≥0，再根據(jù)方程x2+(n-2)

n-1

x+m+18=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△＞0，即△=（n-2）²（n-1）-4（m+18）＞0①；又方程x2+(n-6)

n-1

x+m-37=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△′=0，即△′=（n-6）²（n-1）-4（m-37）=0②，然后①-②，得到關(guān)于n的不等式，解之得到n的取值范圍，最后找到n的最小值．

解答：解：∵

n-1

有意義，
∴n-1≥0，即n≥1，
而n為整數(shù)，所以n≥1的整數(shù)．
又∵方程x2+(n-2)

n-1

x+m+18=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，即△=（n-2）²（n-1）-4（m+18）＞0①；
又方程x2+(n-6)

n-1

x+m-37=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△′=0，即△′=（n-6）²（n-1）-4（m-37）=0②，
①-②整理得：2n²-10n-47＞0，
令2n²-10n-47=0，
解得n₁=

5- 119

2

，n₂=

5+ 119

2

，
∴n＜

5- 119

2

或n＞

5+ 119

2

，
而n≥1的整數(shù)，
所以n＞

5+ 119

2

的整數(shù)．
則n的最小整數(shù)為8，并且（8-6）²（8-1）-4（m-37）=0，
解得m=42，為整數(shù)滿足條件．
所以n的最小整數(shù)為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了運(yùn)用二次函數(shù)圖象解一元二次方程的方法．